8. 그래프 이론 (Graph Theory)

02 Jan 2024 in CS study / Coding Test

이것이 취업을 위한 코딩테스트다 with 파이썬 책을 참고하여 그래프 이론을 공부한 내용입니다.

코딩 테스트에서 자주 등장하는 기타 그래프 이론 공부

이미 배운 내용 훑어보자
서로소 집합
신장 트리
- 크루스칼 알고리즘
- 크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도
위상 정렬
- 위상 정렬의 시간 복잡도
예제 문제
기출 문제
출처

이미 배운 내용 훑어보자

5장, 9장 이외의 그래프 알고리즘 → 코딩 테스트 출제 비중이 낮은 편이지만, 다양한 응용 문제들을 해결하는데 도움이 될 것이다.
‘서로 다른 개체 연결’ → 그래프 알고리즘 / ex) 여러 개의 도시가 연결되어 있다.

트리 자료구조는 다양한 알고리즘에 사용되므로 꼭 숙지

	그래프	트리
방향성	방향 그래프 혹은 무방향 그래프	방향 그래프
순환성	순환 및 비순환	비순환
루트 노드 존재 여부	루트 노드가 없음	루트 노드가 존재
노드간 관계성	부모와 자식 관계 없음	부모와 자식 관계 있음
모델의 종류	네트워크 모델	계층 모델

어떤 문제를 만나든 메모리와 시간을 염두하고 알고리즘 선택

서로소 집합

공통 원소가 없는 두 집합

서로소 집합 자료구조

서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
연산
- union(합집합), find(찾기)
트리 자료구조 이용하여 표현
1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인
  1. A와B의 루트 노드 A’, B’을 찾는다
  2. A’을 B’의 부모 노드로 설정(B’가 A’를 가리키도록 한다, 번호가 작은 노드를 부모 노드로 설정)
2. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정 반복
루트는 재귀적으로 부모를 거슬러 올라가서 찾는다

기본적인 서로소 집합 알고리즘

  # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
  def find_parent(parent, x):
      # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
      if parent[x] != x:
          return find_parent(parent, parent[x])
      return x
    
  # 두 원소가 속한 집합을 합치기
  def union_parent(parent, a, b):
      a = find_parent(parent, a)
      b = find_parent(parent, b)
      if a < b:
          parent[b] = a
      else:
          parent[a] = b
    
  # 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
  v, e = map(int, input().split())
  parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
    
  # 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
  for i in range(1, v + 1):
      parent[i] = i
    
  # Union 연산을 각각 수행
  for i in range(e):
      a, b = map(int, input().split())
      union_parent(parent, a, b)
    
  # 각 원소가 속한 집합 출력하기
  print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
  for i in range(1, v + 1):
      print(find_parent(parent, i), end=' ')
    
  print()
    
  # 부모 테이블 내용 출력하기
  print('부모 테이블: ', end='')
  for i in range(1, v + 1):
      print(parent[i], end=' ')

노드의 개수: V, 연산 (find, union)의 개수: M → 전체 시간복잡도: \(O(VM)\)

개선된 서로소 집합 알고리즘 (경로 압축)

경로 압축
- find함수 재귀적으로 호출하여 부모 테이블 값 갱신
- 루트 노드에 더 빠르게 접근하여 시간 복잡도 개선

  # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
  def find_parent(parent, x):
      # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
      if parent[x] != x:
          parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
      return parent[x]
    
  # 두 원소가 속한 집합을 합치기
  def union_parent(parent, a, b):
      a = find_parent(parent, a)
      b = find_parent(parent, b)
      if a < b:
          parent[b] = a
      else:
          parent[a] = b
    
  # 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
  v, e = map(int, input().split())
  parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
    
  # 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
  for i in range(1, v + 1):
      parent[i] = i
    
  # Union 연산을 각각 수행
  for i in range(e):
      a, b = map(int, input().split())
      union_parent(parent, a, b)
    
  # 각 원소가 속한 집합 출력하기
  print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
  for i in range(1, v + 1):
      print(find_parent(parent, i), end=' ')
    
  print()
    
  # 부모 테이블 내용 출력하기
  print('부모 테이블: ', end='')
  for i in range(1, v + 1):
      print(parent[i], end=' ')

서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도

경로 압축만 고려(V: 노드의 개수, 최대 V-1 개의 union연산, M개의 find 연산) → \(O(V+M(1+\log_{2-M/V}V ))\)
ex) 노드의 개수 1000개, 연산(union, find)의 개수 100만번 → 약 1000만번 가량의 연산 필요

서로소 집합을 이용한 사이클 판별

무방향 그래프에서 사이클 판별에 사용 가능 (방향 그래프에서는 DFS 이용하여 가능)
알고리즘 과정
1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다
  1. 루트 노드가 서로 다르면 두 노드에 대해 union 연산 수행
  2. 루트 노드가 같으면 사이클이 발생한 것
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정 반복
매 간선에 대해 union 및 find 함수를 호출하는 방식으로 동작

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

신장 트리

하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프 → 트리의 성립 조건이기도 하다

크루스칼 알고리즘

최소 신장 트리 알고리즘: 신장트리 중에서 최소 비용의 신장 트리를 찾는 알고리즘 / ex) 두 도시 A, B의 연결 통로 설치의 최소 비용 구하기
대표적인 최소 신장 트리 알고리즘
가장 적은 비용으로 모든 노드 연결 가능 (그리디 알고리즘으로 분류)
알고리즘 과정
1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
  1. 발생 X → 최소 신장 트리에 포함
  2. 발생 O → 최소 신장 트리에 포함 X
3. 모든 간선에 대해 2번의 과정 반복
일종의 트리 자료구조 → 최종적인 신장 트리에 포함되는 간선의 개수: 노드의 개수 - 1

핵심 : 가장 짧은 거리의 간선부터 차례로 집합에 포함 (사이클 발생 간선 제외)

  # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
  def find_parent(parent, x):
      # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
      if parent[x] != x:
          parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
      return parent[x]
    
  # 두 원소가 속한 집합을 합치기
  def union_parent(parent, a, b):
      a = find_parent(parent, a)
      b = find_parent(parent, b)
      if a < b:
          parent[b] = a
      else:
          parent[a] = b
    
  # 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
  v, e = map(int, input().split())
  parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
    
  # 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
  edges = []
  result = 0
    
  # 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
  for i in range(1, v + 1):
      parent[i] = i
    
  # 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
  for _ in range(e):
      a, b, cost = map(int, input().split())
      # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
      edges.append((cost, a, b))
    
  # 간선을 비용순으로 정렬
  edges.sort()
    
  # 간선을 하나씩 확인하며
  for edge in edges:
      cost, a, b = edge
      # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
      if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
          union_parent(parent, a, b)
          result += cost
    
  print(result)

크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도

간선의 개수 E개 → \(O(ElogE)\) (간선 정렬 시간 복잡도가 가장 크다)

위상 정렬

정렬 알고리즘의 일종, 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례로 수행할 때 사용
방향 그래프의 모든 노드를 ‘방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것’ / ex) 선수 과목을 고려한 학습 순서 설정
그래프 상에서 선후 관계가 있다면, 위상 정렬을 수행하여 모든 선후 관계를 지키는 전체 순서 계산 가능
진입차수 : 특정한 노드로 ‘들어오는’ 간선의 개수
알고리즘 과정
1. 진입차수가 0인 노드 큐에 넣음
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정 반복
  1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거
  2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣음
큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우 여러 개의 답이 될 수 있다

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

위상 정렬의 시간 복잡도

노드의 개수: V, 간선의 개수: E → \(O(V+E)\)
모든 노드를 확인하면서 해당 노드에서 출발하는 간선을 확인하기 때문

예제 문제

예제 1: 팀 결성

내 풀이

서로소 집합 알고리즘을 이용하여 find, union 연산 구현
그 후, 조건에 맞게 연산 수

 import sys
 input=sys.stdin.readline
        
 def find_parent(parent, x):
   if parent[x] != x:
     parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
   return parent[x]
          
 def union(a,b):
   a = find_parent(parent, a)
   b = find_parent(parent, b)
   if a<b:
     parent[b]=a
   else:
     parent[a]=b
        
 N,M=map(int,input().split())
 parent=[0]*(N+1)
        
 for i in range(N+1):
   parent[i]=i
          
 for i in range(M):
   op,a,b=map(int,input().split())
   if op==0:
     union(a,b)
   else:
     if find_parent(parent,a)==find_parent(parent,b):
       print("YES")
     else:
       print("NO")

풀이를 본 후

풀이도 같다

 # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
 def find_parent(parent, x):
     # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
     if parent[x] != x:
         parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
     return parent[x]
        
 # 두 원소가 속한 집합을 합치기
 def union_parent(parent, a, b):
     a = find_parent(parent, a)
     b = find_parent(parent, b)
     if a < b:
         parent[b] = a
     else:
         parent[a] = b
        
 n, m = map(int, input().split())
 parent = [0] * (n + 1) # 부모 테이블 초기화
        
 # 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
 for i in range(0, n + 1):
     parent[i] = i
        
 # 각 연산을 하나씩 확인
 for i in range(m):
     oper, a, b = map(int, input().split())
     # 합치합(Union) 연산인 경우
     if oper == 0:
         union_parent(parent, a, b)
     # 찾기(Find) 연산인 경우
     elif oper == 1:
         if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
             print('YES')
         else:
             print('NO')

해결한 후
서로소 집합 알고리즘 연산들 구현 숙지

예제 2: 도시 분할 계획

내 풀이

크루스칼 알고리즘을 통해 최소 신장 트리를 구한다.
그 후, 도시간의 간선 중에서 가장 큰 간선을 제거한다.
마지막으로 간선들의 총합을 구한다.

 import sys
 input=sys.stdin.readline
        
 def find_parent(parent, x):
   if parent[x] != x:
     parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
   return parent[x]
          
 def union(a,b):
   a = find_parent(parent, a)
   b = find_parent(parent, b)
   if a<b:
     parent[b]=a
   else:
     parent[a]=b
        
 N,M=map(int,input().split())
 edges=[]
 result=0
        
 parent=[0]*(N+1)
 for i in range(N+1):
   parent[i]=i
          
 for i in range(M):
   a,b,cost=map(int,input().split())
   edges.append((cost,a,b))
        
 edges.sort()
 max_cost=0
 for edge in edges:
   cost,a,b=edge
   if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
     union(a,b)
     max_cost=max(max_cost, cost)
     result+=cost
        
 print(result-max_cost)

풀이를 본 후

풀이도 같다

 # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
 def find_parent(parent, x):
     # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
     if parent[x] != x:
         parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
     return parent[x]
        
 # 두 원소가 속한 집합을 합치기
 def union_parent(parent, a, b):
     a = find_parent(parent, a)
     b = find_parent(parent, b)
     if a < b:
         parent[b] = a
     else:
         parent[a] = b
        
 # 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력받기
 v, e = map(int, input().split())
 parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화
        
 # 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
 edges = []
 result = 0
        
 # 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
 for i in range(1, v + 1):
     parent[i] = i
        
 # 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
 for _ in range(e):
     a, b, cost = map(int, input().split())
     # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
     edges.append((cost, a, b))
        
 # 간선을 비용순으로 정렬
 edges.sort()
 last = 0 # 최소 신장 트리에 포함되는 간선 중에서 가장 비용이 큰 간선
        
 # 간선을 하나씩 확인하며
 for edge in edges:
     cost, a, b = edge
     # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
     if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
         union_parent(parent, a, b)
         result += cost
         last = cost
        
 print(result - last)

해결한 후
도시간 거리의 최소 비용 등의 문제가 나오면 크루스칼 알고리즘 떠올리기

예제 3: 커리큘럼

내 풀이

위상 정렬과 강의 시간을 담을 리스트 구현
알고리즘을 진행하면서 선행 과목의 강의 시간을 더해주면서 강의 시간 갱신
최종적인 최소 수강 시간 출력

 from collections import deque
 import sys
 input=sys.stdin.readline
        
 def topology_sort():
   q=deque()
        
   for i in range(1,N+1):
     if indegree[i]==0:
       q.append(i)
        
   while q:
     now=q.popleft()
     for i in graph[now]:
       indegree[i]-=1
       if indegree[i]==0:
         result[i]+=result[now]
         q.append(i)
        
   for i in range(1,N+1):
     print(result[i])
                
 N=int(input())
 indegree=[0]*(N+1)
 graph=[[] for _ in range(N+1)]
 result=[0]*(N+1)
        
 for i in range(N):
   temp=list(map(int,input().split()))
   result[i+1]=temp[0]
   num=temp[1:-1]
   for n in num:
     graph[n].append(i+1)
     indegree[i+1]+=1
            
 topology_sort()

풀이를 본 후

인접한 노드에 대해서 현재 저장된 시간보다 강의 시간이 더 긴 경우가 있다면 갱신을 해줘야한다.

 from collections import deque
 import copy
        
 # 노드의 개수 입력받기
 v = int(input())
 # 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
 indegree = [0] * (v + 1)
 # 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
 graph = [[] for i in range(v + 1)]
 # 각 강의 시간을 0으로 초기화
 time = [0] * (v + 1)
        
 # 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
 for i in range(1, v + 1):
     data = list(map(int, input().split()))
     time[i] = data[0] # 첫 번째 수는 시간 정보를 담고 있음
     for x in data[1:-1]:
         indegree[i] += 1
         graph[x].append(i)
        
 # 위상 정렬 함수
 def topology_sort():
     result = copy.deepcopy(time) # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
     q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
        
     # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
     for i in range(1, v + 1):
         if indegree[i] == 0:
             q.append(i)
        
     # 큐가 빌 때까지 반복
     while q:
         # 큐에서 원소 꺼내기
         now = q.popleft()
         # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
         for i in graph[now]:
             result[i] = max(result[i], result[now] + time[i])
             indegree[i] -= 1
             # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
             if indegree[i] == 0:
                 q.append(i)
        
     # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
     for i in range(1, v + 1):
         print(result[i])
        
 topology_sort()

해결한 후
문제의 예시를 잘못 해석해서 틀렸다. 선행 과목을 다 수강 해야 하므로 최대의 시간으로 저장해야 한다.

기출 문제

기출 문제 1: 여행 계획

내 풀이

서로소 집합을 이용하여 연결된 도시끼리 union연산 진행
그 후, 인접한 여행 계획 도시들의 부모가 같으면 여행 가능, 아니면 여행 불가로 판별

 import sys
 input = sys.stdin.readline
        
 def find_parent(parent, x):
   if parent[x] != x:
     parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
   return parent[x]
        
 def union_parent(parent, a, b):
   a = find_parent(parent, a)
   b = find_parent(parent, b)
   if a < b:
     parent[b] = a
   else:
     parent[a] = b
        
 n, m = map(int, input().split())
 parent = [0] * (n + 1)
        
 for i in range(0, n + 1):
   parent[i] = i
        
 trip = []
 for i in range(n):
   trip.append(list(map(int, input().split())))
        
 plan = list(map(int, input().split()))
        
 for i in range(n):
   for j in range(n):
     if trip[i][j] == 1:
       union_parent(parent, i + 1, j + 1)
        
 ans = 'YES'
 for i in range(m - 1):
   if find_parent(parent, plan[i]) != find_parent(parent, plan[i + 1]):
     ans = 'NO'
     break
 print(ans)

풀이를 본 후

풀이도 거의 유사한 방법이다.

 # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
 def find_parent(parent, x):
     # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
     if parent[x] != x:
         parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
     return parent[x]
        
 # 두 원소가 속한 집합을 합치기
 def union_parent(parent, a, b):
     a = find_parent(parent, a)
     b = find_parent(parent, b)
     if a < b:
         parent[b] = a
     else:
         parent[a] = b
        
 # 여행지의 개수와 여행 계획에 속한 여행지의 개수 입력받기
 n, m = map(int, input().split())
 parent = [0] * (n + 1) # 부모 테이블 초기화
        
 # 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
 for i in range(1, n + 1):
     parent[i] = i
        
 # Union 연산을 각각 수행
 for i in range(n):
     data = list(map(int, input().split()))
     for j in range(n):
         if data[j] == 1: # 연결된 경우 합집합(Union) 연산 수행
             union_parent(parent, i + 1, j + 1)
        
 # 여행 계획 입력받기
 plan = list(map(int, input().split()))
        
 result = True
 # 여행 계획에 속하는 모든 노드의 루트가 동일한지 확인
 for i in range(m - 1):
     if find_parent(parent, plan[i]) != find_parent(parent, plan[i + 1]):
         result = False
        
 # 여행 계획에 속하는 모든 노드가 서로 연결되어 있는지(루트가 동일한지) 확인
 if result:
     print("YES")
 else:
     print("NO")

해결한 후
행렬 정보를 입력 받으면서 union연산까지 진행 할 수 있었다…

기출 문제 2: 탑승구

내 풀이
문제의 예시를 이해하지 못해서 답을 못 구했다…

풀이를 본 후

서로소 집합을 이용하여 탑승구 끼리 union 연산을 수행했다. 탐색할 수 있는 가장 큰 탑승구를 선택하여 선택한 탑승구의 루트가 0이면 탐색을 종료한다…

항상 구하고자 하는 것을 기준으로 생각하면 답이 보인다…

 # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
 def find_parent(parent, x):
     # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
     if parent[x] != x:
         parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
     return parent[x]
        
 # 두 원소가 속한 집합을 합치기
 def union_parent(parent, a, b):
     a = find_parent(parent, a)
     b = find_parent(parent, b)
     if a < b:
         parent[b] = a
     else:
         parent[a] = b
        
 # 탑승구의 개수 입력받기
 g = int(input())
 # 비행기의 개수 입력받기
 p = int(input())
 parent = [0] * (g + 1) # 부모 테이블 초기화
        
 # 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
 for i in range(1, g + 1):
     parent[i] = i
        
 result = 0
 for _ in range(p):
     data = find_parent(parent, int(input())) # 현재 비행기의 탑승구의 루트 확인
     if data == 0: # 현재 루트가 0이라면, 종료
         break
     union_parent(parent, data, data - 1) # 그렇지 않다면 바로 왼쪽의 집합과 합치기
     result += 1
        
 print(result)

기출 문제 3: 어두운 길

내 풀이

크루스칼 알고리즘으로 최소 신장 트리를 구하고 최소 비용을 구한다.
모든 도로 비용의 총합에서 최소 비용을 빼서 절약할 최대 비용을 구한다.

 import sys
 input = sys.stdin.readline
        
 def find_parent(parent, x):
   if parent[x] != x:
     parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
   return parent[x]
        
 def union_parent(parent, a, b):
   a = find_parent(parent, a)
   b = find_parent(parent, b)
   if a < b:
     parent[b] = a
   else:
     parent[a] = b
        
 n, m = map(int, input().split())
 parent = [0] * n
        
 for i in range(n):
   parent[i] = i
        
 edges = []
 for i in range(m):
   a, b, c = map(int, input().split())
   edges.append((c, a, b))
          
 edges.sort()
        
 result=0
 sum=0
 for edge in edges:
   cost, a, b = edge
   sum+=cost
   if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
     union_parent(parent, a, b)
     result += cost
        
 print(sum-result)

풀이를 본 후

풀이도 같다.

 # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
 def find_parent(parent, x):
     # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
     if parent[x] != x:
         parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
     return parent[x]
         
 # 두 원소가 속한 집합을 합치기
 def union_parent(parent, a, b):
     a = find_parent(parent, a)
     b = find_parent(parent, b)
     if a < b:
         parent[b] = a
     else:
         parent[a] = b
         
 # 노드의 개수와 간선의 개수 입력받기
 n, m = map(int, input().split())
 parent = [0] * (n + 1) # 부모 테이블 초기화
        
 # 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
 edges = []
 result = 0
        
 # 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
 for i in range(1, n + 1):
     parent[i] = i
        
 # 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
 for _ in range(m):
     x, y, z = map(int, input().split())
     # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
     edges.append((z, x, y))
        
 # 간선을 비용순으로 정렬
 edges.sort()
 total = 0 # 전체 가로등 비용
        
 # 간선을 하나씩 확인하며
 for edge in edges:
     cost, a, b = edge
     total += cost
     # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
     if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
         union_parent(parent, a, b)
         result += cost
        
 print(total - result)

해결한 후
가로등이 켜진 도로 만으로 모든 두 집이 왕래가 가능하다는 조건을 보고 최소 신장 트리 문제임을 알아야 한다.

기출 문제 4: 행성 터널

내 풀이

좌표를 입력 받은 후 모든 가능한 간선의 길이를 저장하고 정렬
크루스칼 알고리즘 이용하여 최소 비용 구함

메모리 초과 발생으로 부분 집합을 이용하여 구하고자 하는 간선의 총 개수를 줄이고자 함 → 실패

 import sys
 input = sys.stdin.readline
        
 def find_parent(parent, x):
   if parent[x] != x:
     parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
   return parent[x]
        
 def union_parent(parent, a, b):
   a = find_parent(parent, a)
   b = find_parent(parent, b)
   if a < b:
     parent[b] = a
   else:
     parent[a] = b
        
 n= int(input())
 parent = [0] * (n + 1)
        
 for i in range(1, n+1):
   parent[i] = i
        
 points = []
 for i in range(n):
   a, b, c = map(int, input().split())
   points.append((a, b, c))
        
 edges=[]
 for i in range(1, n):
   for j in range(i+1, min(i+100, n+1)):
     x1, y1, z1 = points[i-1]
     x2, y2, z2 = points[j-1]
     cost=min(abs(x1-x2), abs(y1-y2), abs(z1-z2))
     edges.append((cost, i, j))
        
 edges.sort()
        
 result=0
 for edge in edges:
   cost, a, b = edge
   if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
     union_parent(parent, a, b)
     result += cost
        
 print(result)

풀이를 본 후

모든 간선의 경우의 수를 구하기에는 메모리 초과가 발생한다. 이때, 거리의 값을 구하는 공식이 각 좌표들의 차이 중 최소이므로 \(x, y, z\) 축을 기준으로 정렬 후에 \(n-1\)의 간선 들만 고려하면 최적의 해를 구할 수 있다. 결과적으로 \(3\times(n-1)\)개의 간선으로 값을 구할 수 있다.

3차원으로 좌표가 3개가 되었지만 비용의 공식으로 인해서 각각의 거리를 기준으로 정렬 후 크루스칼 알고리즘을 이용하면 되었다…

 # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
 def find_parent(parent, x):
     # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
     if parent[x] != x:
         parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
     return parent[x]
         
 # 두 원소가 속한 집합을 합치기
 def union_parent(parent, a, b):
     a = find_parent(parent, a)
     b = find_parent(parent, b)
     if a < b:
         parent[b] = a
     else:
         parent[a] = b
         
 # 노드의 개수 입력받기
 n = int(input())
 parent = [0] * (n + 1) # 부모 테이블 초기화
        
 # 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
 edges = []
 result = 0
        
 # 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
 for i in range(1, n + 1):
     parent[i] = i
        
 x = []
 y = []
 z = []
        
 # 모든 노드에 대한 좌표 값 입력받기
 for i in range(1, n + 1):
     data = list(map(int, input().split()))
     x.append((data[0], i))
     y.append((data[1], i))
     z.append((data[2], i))
        
 x.sort()
 y.sort()
 z.sort()
        
 # 인접한 노드들로부터 간선 정보를 추출하여 처리
 for i in range(n - 1):
     # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
     edges.append((x[i + 1][0] - x[i][0], x[i][1], x[i + 1][1]))
     edges.append((y[i + 1][0] - y[i][0], y[i][1], y[i + 1][1]))
     edges.append((z[i + 1][0] - z[i][0], z[i][1], z[i + 1][1]))
        
 # 간선을 비용순으로 정렬
 edges.sort()
        
 # 간선을 하나씩 확인하며
 for edge in edges:
     cost, a, b = edge
     # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
     if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
         union_parent(parent, a, b)
         result += cost
        
 print(result)

기출 문제 5: 최종 순위

내 풀이

위상 정렬을 이용하여 올해의 순위를 구함
이때, 위상 정렬 중 큐에 여러 개의 값이 들어오고 정상적인 순위가 아닐 때 ‘?’ 출력
데이터 정보가 잘못 되었을 때 ‘IMPOSSIBLE’ 출력

하지만 25%에서 ‘틀렸습니다’가 나왔다

 import sys
 input = sys.stdin.readline
 from collections import deque
        
 def topologysort():# 위상 젇렬
   global flag2
   result=[]
   q=deque()
   for i in range(1,n+1):# 진입 차수 0인 값 큐에 넣기
     if indegree[i]==0:
       q.append(i)
              
   while q:
     if len(q)>=2:# 순위 정할 수 없을 때
       flag2=False
       break
     now=q.popleft()
     result.append(now)
     for i in graph[now]:# 진입 차수 빼기
       indegree[i]-=1
       if indegree[i]==0:# 진입 차수 0인것 큐에 넣기
         q.append(i)
        
   return result
        
 test=int(input())# test 개수
        
 for _ in range(test):
   n=int(input())
   indegree=[0]*(n+1)
   past=list(map(int,input().split()))# 과거 순위
   graph=[[] for _ in range(n+1)]# 간선 정보
   flag=True
   answer=[]
   flag2=True
          
   for i in range(n-1):
     for j in range(i+1,n):
       graph[past[i]].append(past[j])# 순위에 맞는 간선 정보 저장
       indegree[past[j]]+=1
        
   m=int(input())
   for i in range(m):
     a,b=map(int,input().split())
     if a not in graph[b]:
       flag=False
     else:
       graph[b].remove(a)
       graph[a].append(b)
       indegree[a]-=1
       indegree[b]+=1
              
   if flag:
     answer=topologysort()
     if flag2 and len(answer) == n:  
       for i in range(n):
         print(answer[i], end=' ')
       print()
     else:
       print('?')
   else:
     print('IMPOSSIBLE')

풀이를 본 후

사이클 유무, 위상 정렬이 오직 하나일 때를 이용하여 예외 처리를 했다. 위상 정렬은 여러가지 케이스가 나올 수 있기 때문에 정확한 순위가 나오려면 큐에 팀이 한팀씩 들어가야 한다. 데이터의 일관성은 위상 정렬 수행에서 사이클 판단으로 확인한다…

단순하게 위상 정렬을 하지 않고 예외 처리를 하려고 했다… 하지만 위상 정렬을 수행해봐야 예외 처리가 가능했다…

 from collections import deque
        
 # 테스트 케이스(Test Case)만큼 반복
 for tc in range(int(input())):
     # 노드의 개수 입력 받기
     n = int(input())
     # 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
     indegree = [0] * (n + 1)
     # 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 인접 행렬 초기화
     graph = [[False] * (n + 1) for i in range(n + 1)]
        
     # 작년 순위 정보 입력
     data = list(map(int, input().split()))
     # 방향 그래프의 간선 정보 초기화
     for i in range(n):
         for j in range(i + 1, n):
             graph[data[i]][data[j]] = True
             indegree[data[j]] += 1
        
     # 올해 변경된 순위 정보 입력
     m = int(input())
     for i in range(m):
         a, b = map(int, input().split())
         # 간선의 방향 뒤집기
         if graph[a][b]:
             graph[a][b] = False
             graph[b][a] = True
             indegree[a] += 1
             indegree[b] -= 1
         else:
             graph[a][b] = True
             graph[b][a] = False
             indegree[a] -= 1
             indegree[b] += 1
        
     # 위상 정렬(Topology Sort) 시작
     result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
     q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
        
     # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
     for i in range(1, n + 1):
         if indegree[i] == 0:
             q.append(i)
        
     certain = True # 위상 정렬 결과가 오직 하나인지의 여부
     cycle = False # 그래프 내 사이클이 존재하는지 여부
        
     # 정확히 노드의 개수만큼 반복
     for i in range(n):
         # 큐가 비어 있다면 사이클이 발생했다는 의미
         if len(q) == 0:
             cycle = True
             break
         # 큐의 원소가 2개 이상이라면 가능한 정렬 결과가 여러 개라는 의미
         if len(q) >= 2:
             certain = False
             break
         # 큐에서 원소 꺼내기
         now = q.popleft()
         result.append(now)
         # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
         for j in range(1, n + 1):
             if graph[now][j]:
                 indegree[j] -= 1
                 # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
                 if indegree[j] == 0:
                     q.append(j)
        
     # 사이클이 발생하는 경우(일관성이 없는 경우)
     if cycle:
         print("IMPOSSIBLE")
     # 위상 정렬 결과가 여러 개인 경우
     elif not certain:
         print("?")
     # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
     else:
         for i in result:
             print(i, end=' ')
         print()

출처

이것이 취업을 위한 코딩테스트다 with 파이썬

8. 그래프 이론 (Graph Theory)

이미 배운 내용 훑어보자

서로소 집합

서로소 집합 자료구조

서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도

서로소 집합을 이용한 사이클 판별

신장 트리

크루스칼 알고리즘

크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도

위상 정렬

위상 정렬의 시간 복잡도

예제 문제

기출 문제

출처

pjj11005

Error

이미 배운 내용 훑어보자

서로소 집합

서로소 집합 자료구조

서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도

서로소 집합을 이용한 사이클 판별

신장 트리

크루스칼 알고리즘

크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도

위상 정렬

위상 정렬의 시간 복잡도

예제 문제

기출 문제

출처

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